অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{r} =x\hat{i} +y\hat{j} +z\hat{k}$ এর কার্ল $(\overrightarrow{\nabla } \times \overrightarrow{r} )$ কত?

      যদি কোনো স্থানের একটি এলাকায় প্রতিটি বিন্দুতে $\overrightarrow{V}$(x, y, z) =$\widehat{i}{V}_x+\widehat{j}{V}_y+\widehat{k}{V}_z$ কে একটি অন্তরীকরণযোগ্য রাশি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায় অর্থাৎ $\overrightarrow{V}$ যদি একটি অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর অপেক্ষক হয়, তাহলে  $\overrightarrow{V}$এর কার্ল 

   (curl $\overrightarrow{V}$) বা $\overrightarrow{△}\times \overrightarrow{V}$ এর সংজ্ঞা হলো :

    $$\begin{gathered} \overrightarrow{△}\times \overrightarrow{V}=\left(\widehat{i}\frac{\partial }{\partial x}-\widehat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\widehat{k}\frac{\partial }{\partial z}\right)\times \left(\widehat{i}{V}_x+\widehat{i}{V}_y+\widehat{i}{V}_z\right) \\ \overrightarrow{△}\times \overrightarrow{V}=\left|\frac{\stackrel{\widehat{i}}{\partial }}{\underset{V_x}{\partial }}\frac{\stackrel{\widehat{j}}{\partial }}{\underset{V_y}{\partial }}\frac{\stackrel{\widehat{k}}{\partial }}{\underset{V_z}{\partial }}\right|=\left(\frac{\partial }{\partial y}-\frac{\partial }{\partial z}\right)\widehat{i}+\left(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\right)\widehat{j}+\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)\widehat{k}.. \end{gathered}$$ ... (2.33)

     কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর রাশি। এ ভেক্টরটির দিক ঐ ক্ষেত্রের উপর অঙ্কিত লম্ব বরাবর। এটি ঐ ক্ষেত্রের ঘূর্ণন ব্যাখ্যা করে। কোনো বিন্দুর চারদিকে ভেক্টরটি কতবার ঘোরে কার্ল তা নির্দেশ করে। যদি কোনো ভেক্টরের কার্ল শূন্য হয় তবে এটি অঘূর্ণনশীল (irrotational) হবে। অর্থাৎ $\overrightarrow{△}\times \overrightarrow{V}$= $\overrightarrow{0}$ হলে $\overrightarrow{V}$ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল এবং সংরক্ষণশীল আর $\overrightarrow{△}\times \overrightarrow{V}$= $\overrightarrow{0}$ হলে $\overrightarrow{V}$ ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল এবং অসংরক্ষণশীল । রৈখিক বেগ $\overrightarrow{v}$ এর কার্ল কৌণিক বেগ $\overrightarrow{\omega }$ এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ $\overrightarrow{△}\times \overrightarrow{v}$ = 2$\overrightarrow{\omega }$ । কোনো ভেক্টরের কার্লের মান ঐ ভেক্টরের ক্ষেত্রে একক ক্ষেত্রফলের উপর সর্বোচ্চ রেখা যোগজের সমান। কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য অর্থাৎ  ($\overrightarrow{△}\times \overrightarrow{V}$)= 0 l